打靶法与边界条件匹配：从出发斜率找到整条曲线

从左边发出一颗小球，希望它在指定的水平位置经过一个目标。起点和目标都固定，轨迹向下弯曲的规则也已知；还没决定的是，小球出发时要朝上倾斜多少。

先用一个简化模型做这个任务。把水平位置记作 ，高度记作 ，起点为 ，目标为 。选好尺度后，轨迹遵循 ：沿着水平方向前进时，曲线的斜率以固定速率减小。这里 表示斜率， 表示斜率随 的变化率；两个撇号不表示高度的平方。全文实验里的量均经过缩放，没有物理单位。

这个规则对应无空气阻力、水平速度固定的抛物线模型；实验调节的是初始竖直速度与水平速度之比，并非在固定总速率下任意改变发射角。它只是帮助理解方法的教学模型。

可以先猜一个出发斜率，看看落点高了还是低了，再调整下一次。后面要解决的是：当轨迹复杂到不能直接写出公式时，怎样把这种尝试变成有依据的计算，以及怎样判断结果可信。

先试射，再整理成方程

把出发斜率记为 。在下面的实验中，先保留一条试射曲线，再选择一个不同的 ，比较两次在 处的高度。不要急着找精确值，可以先找到一次偏高、一次偏低的试射。

实验同时显示“落点减目标”，也就是有符号残差。正数表示偏高，负数表示偏低，0 表示恰好匹配。换一个右端目标后，再检验原来的出发斜率是否仍然合适；需要时可以逐级展开提示。

这个例子可以完整算出来。斜率以速率 改变，所以从 出发，到位置 时变成

从 0 走到 ，高度的变化等于这段区间内斜率的累积。累积常数 得到 ，累积 得到 ；再用起点高度为 0，得到

分号后的 提醒我们：每个出发斜率对应一条曲线。到右端 ，高度是 ，因此目标为 0 时应取 。代回可得 ，两端都是 0，中点高度为 。这与实验中的曲线相互核对。

如果目标高度改成 ，希腊字母 在这里表示一个给定的数，就要满足

这个答案依赖当前方程。更一般的情形里，斜率和落点未必保持这样简单的关系，但“从一个斜率出发，计算落点，再比较目标”的结构仍然可以保留。

把边值问题变成初值问题

设一条未知曲线满足

是左右端位置，、 是规定的两端函数值。 是已知规则，输入当前位置、当前高度与当前斜率，输出斜率的变化率。前面的例子就是 、、、。

条件分别给在两个端点，这叫两点边值问题。许多数值方法却擅长另一种输入：在同一个位置同时知道高度和斜率，例如 、，然后逐步向右计算。这叫初值问题。

边值问题缺少的正是出发斜率。打靶法暂时补上一个猜测 ，求解

再把右端偏差写成一个关于 的函数：

目标转为寻找 。 的一次计算可能需要积分整条轨迹，因此它虽然只输入一个数，内部做的工作并不少。内层负责从左走到右，外层负责调整出发斜率。这种用初值求解器和求根器组合求解边值问题的做法，见 Driscoll 与 Braun 的教材 《Fundamentals of Numerical Computation》§10.2。

左端条件已经由初值严格指定，右端条件通过残差匹配；原来的微分方程并没有被舍弃。若每个候选初值问题在 上有唯一解，那么任何使 的斜率都会给出边值问题的解。反过来，任何边值问题的解都有自己的左端斜率，把它拿来试射，就会得到对应的零点。

这里的条件不能省略。对一阶形式的方程，右端连续、对状态局部满足 Lipschitz 条件（状态改变一点，右端的改变量不超过某个固定倍数乘状态改变量），是保证局部初值解存在唯一的常用充分条件；要定义右端落点，还必须保证解能延伸到 。局部存在并不排除解在到达右端前变得无界。更不能从“每次试射唯一”推出“所有试射里恰好只有一条命中”。后面会看到无解与多解的例子。

内层怎样逐步走到右端

先令 ，把一个二阶方程改成两个一阶方程：

这里 只是斜率的新名字。每一步既更新高度，也更新斜率；若只更新高度、把斜率始终固定为 ，算出的就只是一条直线。

最朴素的一步是：用当前斜率估计这小段的高度变化，再用当前 估计斜率变化，即 、。 是水平步长，下标 表示走到了第几个位置。这是显式欧拉法，它能解释“向右走”的含义，但步长较大时误差可能明显。

接下来的实验采用经典四阶 Runge–Kutta 方法，简称 RK4。在同一步内，它还会估计中途和末端的状态，用四次斜率信息合成更新；不必先掌握完整公式也能继续理解外层打靶。

RK4：具体更新公式与精度条件

将两个状态合并为列向量 ，其中上标 表示转置，用于将一行排成一列。定义 ，问题就成为 。

从 的近似状态 出发，一步 RK4 为

是第 次估计的状态变化率，；中间试探状态并不全是真实轨迹上的点。公式中的向量加法同时作用于高度与斜率。

在固定有限区间、解与右端足够光滑且满足相应 Lipschitz 条件时，RK4 从精确起点出发的一步误差为 ，累计的全局误差为 。这里 表示当 足够小时，误差可被某个与 无关的常数乘 控制。它不保证每次减半步长都精确改善 16 倍，也未包含无限缩小步长后的舍入影响。公式与阶数可核查 FNC §6.4。

外层用残差选择下一次试射

换一个用数值积分来试射的任务：

它不再是前面的小球模型，而是用于核对计算的数学例子。改变方程后，不能沿用“斜率等于目标加 1”的答案。

先试 ，轨迹一直为 0，右端低于目标。再试 ，会高于目标。若落点随 连续变化，就可以在 中找一次命中。二分法先试中间斜率 ，其中 、 是当前斜率区间的左右端点；再根据 的符号，只保留仍然两端异号的那一半。

下方实验允许选择初始区间。可以先预测 是否适合二分，再切换查看依据。播放会按轮展示试射，单步、回看和重置使用同一组计算结果。这里的一轮包含一次完整的内层积分，播放速度不表示计算耗时。

二分的依据是介值定理：连续函数两端异号，中间至少有一个零点。一次更新后，这个性质仍被保留；每轮区间长度减半。初始长度为 ，更新 次后长度是 ，再取中点，它离区间内某个根至多 。这个保证针对所求函数的根，不自动涵盖数值积分误差。

同号区间不满足这个保证；对一般函数，同号区间甚至可能含有两个零点或一个相切的零点。实验拒绝开始二分，只说明当前设置缺少包根依据。它没有证明整个边值问题无解。

本例的解析式可以用来独立检查数值结果：

其中双曲正弦 ；求两次导数会回到它自身，所以代回 ，再检查起点高度和斜率，就能验证公式。星号 表示真正匹配边界的斜率。原边值问题的解析解为

因此 的残差约为 ， 的残差约为 ；区间 两端都偏高，且本例的残差是递增直线，根确实不在这个区间内。这里额外使用了本例的解析式，结论比一般的“同号不能保证包根”更强。

割线法与牛顿法分别利用什么

二分法容易保住候选区间，却只利用符号。若已试过两个斜率 、，也可以把残差图上对应的两点连成直线，用这条割线与横轴的交点作为下一次猜测：

下标 是外层迭代轮次。分母是两次残差之差；为 0 时不能做这一步，过小时也可能产生很大的跳跃。对本例，精确的 本来就是直线，任意两次不同试射在精确算术下就足以定位根。对非线性问题，割线可能走出原区间，没有无条件的收敛保证。

如果还能计算残差对斜率的变化率 ，就可以用牛顿法：

它用当前位置的切线预测零点。对足够光滑的残差函数，在简单根 附近、初值足够接近时，牛顿法具有局部二次收敛，即下一轮误差可由常数乘本轮误差的平方控制；从远处出发、导数为零或试射不能到达右端时，都需要额外处理。实际可将快速更新与保留包根区间结合，必要时退回二分。

不靠两次相减，怎样求残差导数

令 ，表示初始斜率改变一点，曲线随之改变多少。在 对 、 连续可微，且解对初值可微依赖的条件下，对原方程按参数 求导，得到

与 是分别对高度和斜率的偏导数；它们沿当前试射曲线取值。初始高度固定，所以 ；初始斜率就是 ，对自身求导得到 。

把 一起向右积分，便有 。本例 ，所以 、、，得到 ，与直接对 求导的结果一致。

也可用两次邻近试射估计 ，但两次积分误差与相减的舍入误差会进入估计；差分间隔不是越小越好。

命中数值端点，不等于已经算准

实验二有四个读数。除了试射斜率，还特意把三种误差或残差放在一起：

记号	具体在比较什么	能说明什么
	RK4 算出的右端高度减去 1	外层对当前数值积分结果匹配到什么程度
	同一斜率的解析右端高度减去 1	排除积分误差后，这次试射是否真正命中
	所有网格点上，数值高度与 的最大绝对差	当前离散输出与原边值问题解析解的差距

， 是把区间分成的步数，网格点是 、。若数值高度记为 ，最后一项定义为

它只在这些节点取最大值，不是对所有连续位置都已证明的最大误差。折线连起数值节点只是绘图方式，也不能当作 RK4 的高阶连续插值。

先让 的试射到达停止状态，再改成 并再次完成迭代，比较保留的结果。两次都可能让 ，但 和 并不相同：外层可能已经很准确地解出了一个含积分近似的落点方程。要改善连续问题的解，还得控制内层误差。

用默认初始区间 、相同停止规则，完成两组试射，可复算出以下结果（数值已舍入）：

积分步数	停止时	同一斜率的	网格解误差
8
16

表中的 检查所选斜率对应的精确试射， 检查实际积分输出；这两个量不必相同。数值积分误差还可能抵消一部分斜率偏差，不能只按某一个读数判断整次计算。

把数值端点误差记作 ，就有

所以只压低第一项并不足够。步长加密可以帮助检查积分误差，却通常不是一个无需条件的严格误差界；本实验额外使用解析解，才能直接显示差距。

实验用 JavaScript 的双精度浮点数计算，显示约 7 位有效数字，显示舍入不参与后续迭代。外层最多 40 轮，以 为停止准则；同号区间、非有限数、浮点区间停滞和达到上限均与成功状态区分。实际程序也应保留这些区别，不能一到轮数上限就输出“收敛”。

边界条件可能选不出唯一曲线

如果把规则换成

曲线会像正弦波那样起伏， 控制它在同一区间内变化的快慢。从斜率 出发，精确轨迹与残差分别是

可以对这个表达式求导，核对 ，再求二阶导数，核对原方程。注意 与外层迭代下标只是本节之外的记号复用；本节 始终是方程参数。

先保留默认的 、，把 从 1 改为 2，比较中点高度与右端残差。然后切换到精确 ，分别尝试两个目标。这个实验不做数值积分，以便只观察方程和边界本身带来的区别。

当 ，匹配斜率唯一：

默认 、 的唯一解就是 。但选择 时，右端残差仅约 ，中点高度却约为 。若只把端点残差小于 当作充分验收，就会接受一条在内部明显偏离零解的曲线。

这里的关系可以直接算出，不只依赖一次观察。因为 ，所以

残差变成内部误差时，被乘上了一个可能很大的因子。残差与解误差之间需要条件性的桥梁。在这个例子中， 接近 0，使边界问题对右端数据也敏感：把 增加 ，解会增加 。这属于原问题的敏感性，不能只靠换一个求根器消除。

当 时，，所有试射的右端都为 0，于是：

• 若 ，每个 都命中，得到无穷多条曲线。边界条件没有选出唯一幅度。
• 若 ，没有任何 能命中，问题无解。

两端给了两个条件，也不保证它们一定有效地确定两个自由度。这个结论直接来自本例的解析式。类似的正弦特征情形也见 SciPy solve_bvp 文档中的 Sturm–Liouville 例子。实验中的“精确 ”按符号关系将右端系数设为 0；没有把浮点计算中一个很小的数冒充严格零。

线性问题可以直接组合两次试射

前面三个模型都对 线性。对一般线性方程

是已知连续函数。先求一个满足 、 的试射 ；再求一个满足

的试射 。第二个方程去掉了外加项 。由于线性叠加， 满足原方程，且左端高度为 、斜率为 。因此

若 ，便能直接取

这说明线性问题在精确计算下不必反复迭代；两次初值求解就能完成组合。若 ，则根据 是否等于 ，分别得到无穷多解或无解。前面的振荡例子恰好有 ，把三种情况都展示了出来。线性打靶的教学说明也可参考 滑铁卢大学的边值问题讲义。

在浮点计算中， 太小、两次试射误差较大或组合发生严重相消，仍会影响结果。代数上一次求出斜率，并不免除数值验证。

这种组合只适用于线性方程。非线性方程的残差图可能弯曲，也可能有几个分离的零点；例如 、 的 Bratu 问题有两个解，见 SciPy 文档的对应例子。找到一次命中，不能自动宣布已经找全所有解。

方程可解，单次打靶仍可能难算

另一种困难出现在从左到右的传播过程。考虑

是规定的正参数。这个边值问题有唯一解析解

它是一条从 1 衰减到 0 的曲线。与之对应的初始斜率为 ，其中 、。

如果出发斜率比正确值多一点 ，两条精确试射的差就满足相同的齐次方程，左端高度差为 0，左端斜率差为 ，因而

下方固定 ，只改变 。可以先估计：当参考解始终位于 时，这么小的斜率偏差能否让落点离开这个范围。图使用解析扰动公式，隔离出这一个误差来源；它没有假装运行某个真实求解器。

当 ，放大倍数约为 ，同样的 斜率偏差会造成约 的端点偏差，远大于原解的高度范围。

这说明单次打靶的初值传播可以很敏感。原解中的增长与衰减分量需要精细抵消，斜率误差或积分过程中引入的误差可能激发增长分量。它与上一节接近共振时“原边值问题对边界数据敏感”是两种不同的机制。FNC §10.2.2 讨论了打靶传播中的误差放大。

对当前常系数方程，这个区别还能直接验证：若只让左右给定高度分别扰动 ，解的变化为

两个系数非负，且和不超过 1，因此 。在边界值作为输入、函数值最大绝对误差作为输出度量时，这个边值问题对边界扰动并不放大；敏感的是用单个初始斜率跨越整个区间的那种计算表示。这里没有讨论对方程系数扰动的条件数。

遇到这种传播困难，可以考虑多重打靶：把区间分成若干段，每段都有自己的初始高度与斜率，只在较短距离内积分，再把各段连接条件一起求解。对二阶方程，内部接点需要同时匹配 和 ；只让高度接上而留下折角，还不满足同一条光滑解的要求。

也可以使用有限差分或配点法，在整个区间上同时约束近似解。比如本例以中心差分近似二阶导数，内部节点满足

已知的首尾高度进入右端，得到三对角方程组，可接到上一篇三对角方程组与追赶法理解。多重打靶增加了未知数，差分与配点引入了离散近似；选法要考虑误差控制和问题结构，不能只按“试射次数少”排名。SciPy 的 solve_bvp 使用四阶配点及残差控制，它不是把单次打靶包装成了一个函数。

换成右端斜率条件，再判断怎样匹配

打靶法并不限于指定两端高度。回到 、，这次不规定右端高度，而要求曲线到右端时恰好水平，即 。

可以先自己选择残差：它应检查右端高度，还是检查右端斜率？选择后再代入前面得到的 ，核对合适的出发斜率。这个改变不需要重新发明积分方法，改变的是“怎样算命中”。

查看斜率边界和混合边界的匹配结果

要求 ，应定义 ，所以 ，轨迹为 。此时右端高度为 1，并不回到 0；若还同时强加 ，就与这个任务不相容。

指定函数值通常叫 Dirichlet 条件，指定导数叫 Neumann 条件。若右端规定函数值和导数的线性组合，例如

其中 是给定常数且 不同时为 0，就可以定义

都非零时常称为 Robin 条件。若右端要求 ，代入抛物线公式得到 ，故 ；此时右端高度 与斜率 相加为 0。真实物理量带单位时， 需要承担相应量纲，不能把不同单位的量任意相加。

再往一般情形推广，若一阶系统的状态向量为 ，边界关系写成 ，就根据左端已知关系，用参数向量 表示尚未确定的自由度，再对剩余边界残差求解。未知自由度有几个，通常就要匹配几个独立的残差分量；数量相同还不够，局部唯一性也需要残差对参数的 Jacobian 矩阵非奇异。这个矩阵记录每个残差对每个参数的变化率，是一维条件 的对应物。

回看这些任务，打靶法的核心是把尚未确定的出发信息作为参数，用真实的演化方程生成轨迹，再检查题目实际规定的边界。使用前要确认试射能到达另一端、残差求根有依据；接受结果时还要检查积分精度和误差放大。端点匹配成功，是解题链条中的一步。

参考资料

1. Tobin A. Driscoll、Richard J. Braun，Fundamentals of Numerical Computation，§10.2 Shooting。打靶的残差构造与单次传播的不稳定性。
2. 同上，§6.4 Runge–Kutta methods。RK4 的更新公式与精度阶。
3. Douglas Wilhelm Harder，滑铁卢大学，7.2 Boundary-value problems。两点边值问题、割线试射、线性情形与有限差分。
4. SciPy 官方文档，scipy.integrate.solve_bvp。一般边界残差的接口、配点法说明与正弦特征问题示例。

本文各实验使用文中给出的简化模型；解析轨迹、退化情形和扰动关系均可直接代回相应微分方程及边界核对。有限次数的试射图用于解释这些模型，不替代一般边值问题的存在性或收敛性证明。