泊松分布：从平均到达人数计算空档与拥挤

假设一家小店平均每 10 分钟来 3 位顾客。店主想用接下来的 10 分钟整理货架，又担心突然来一批人。

这 10 分钟里，一个人都不来的机会，是接近 0、接近 5%，还是接近 20%？平均人数相同，顾客既可能零散到来，也可能结伴进店，空档和拥挤的概率随之不同。

假定顾客单独到达，速率保持稳定，不重叠时段的到达人数相互独立。泊松分布描述的正是这类到达过程中的人数：从平均每 10 分钟来 3 人，可以算出无人到达、恰好来 3 人或至少来 6 人各有多大概率。

十分钟内的顾客人数

把营业时间切成连续、互不重叠的 10 分钟时段，称为“窗口”。每个窗口记录一次到达人数，即这段时间里进店的顾客总数。

记为一个窗口的人数。只能是，每个窗口得到其中一个整数；把许多窗口按人数归类，各类所占的比例就是模拟频率。

下面模拟每分钟平均来 0.3 人的情形，默认统计 100 个窗口。“增加100窗”可以积累更多样本，也可以把窗口改为 5 或 20 分钟。上方时间线显示首个窗口，灰点表示尚未回放的顾客；播放时逐个点亮，点的位置标出到达时刻。

稳定的到达速率下，时间线上的间隔仍然有长有短。下方每一组柱对应一个整数人数，左柱是理论概率，右柱是当前样本中的频率。样本较少时，右柱的起伏较明显；随着窗口数增加，整体形状逐渐清晰，单根柱仍会有上下波动。

回放沿用同一组到达记录，增加窗口保留已有样本。改变窗口长度时，实验重新从 100 个窗口开始。5、10、20 分钟内的平均人数分别为 1.5、3、6，理论柱也随之变化。平均人数与窗口长度相对应：同一家店，统计的时段越长，平均到达人数越多。

泊松分布的概率公式

设是每单位时间的平均到达次数，是窗口长度。整个窗口的平均次数记为

本文人/分钟，分钟，所以。是一个计数的期望值，可以是 1.5 这样的非整数；实际人数仍然只能是整数。

若服从参数为的泊松分布，记作，其定义是：对于每个非负整数，

表示恰好来人的概率；；，约定。这条公式规定了每个可能人数分到的概率，也叫概率质量函数。NIST 的泊松分布条目列出了该定义及其统计性质。

令，得到空窗概率。在时，这个概率约为 4.98%，也就是约每 20 个窗口中有一个无人到达。

相邻两项还满足

所以可以从空窗概率出发，依次乘上算出整条分布。当分母小于时概率上升，大于时下降；时，2 人和 3 人的概率相同，都是约 22.40%。平均 3 人，恰好来 3 人的概率也只有约两成。

二项分布的泊松极限

将 10 分钟分成个小格，每格独立地以概率出现一次到达，否则不出现；每格最多一次。固定总平均次数为 3，也就是让，所以，要求。这个离散模型可以通过计数求出概率。

例如分成 6 格，每格概率为。恰好来 2 人，意味着 6 格中选 2 格发生到达。有种选法，每一种具体排列的概率都是，所以概率为。符号表示从格中选出格的选法数量。

这就是二项分布：固定次独立机会，每次成功概率相同，统计成功次数。它的精确公式为

先把实验中的格数设为 3，再逐渐增加到 1000。总平均次数一直为 3；观察空窗概率、3 次以上的概率和两组柱的差异。

时每格必定到达，结果只能是 3，空窗概率为 0。格数增加时，每格的到达概率下降，同一个总人数有更多分散在各格的方式。随着格子越来越细，“每格最多一次”的人为限制逐渐减弱，分布趋向固定的泊松分布。

一般地，保持，令趋于无穷、趋于 0，对每个固定有

因此，当机会很多、每次概率很小、总平均次数保持有限时，二项分布可以用泊松分布近似。实验中的格数越大，两组柱就越接近。Pishro-Nik 教材第 11.1.2 节给出了这一极限定理。

二项极限的推导与概率归一化

固定非负整数，当时，将概率改写成

方括号中只有固定的项，每项趋于 1；最后一项也趋于 1。中间一项趋于，这来自指数函数的标准极限，此处。因此留下。时空乘积约定为 1，计算同样成立。

这些极限概率非负，而且利用指数函数的级数展开，

因此它们确实组成一个概率分布。时，的概率为 1，其他人数的概率都是 0。

泊松过程与等待时间

“固定窗口的次数服从泊松分布”描述一个随机变量；“整段时间如何到达”描述一个随机过程。前者本身没有规定不同窗口之间的关系。

将累计到达人数随时间的变化记为齐次泊松过程，它从 0 次开始计数，具有以下性质：

不重叠时段的计数独立：知道此前来了多少人，不改变下一个时段的计数概率。
相同长度的时段具有相同分布：速率不随时钟位置改变，10:00 开始和 10:30 开始的 10 分钟窗口使用相同参数。
极短时段几乎不会挤入多次到达：长度为的小段中，恰好一次的概率为，至少两次的概率为。指除以后趋于 0 的余项。

长度为的窗口计数服从参数为的泊松分布，见教材中的泊松过程定义。短时段内多次到达的概率随时段缩短而迅速下降；在较长的 10 分钟里，仍然可能陆续来很多人。

第一组实验按独立的随机等待间隔生成到达。下一位的等待时间超过，等价于这段时间没有到达，因此

这叫指数分布。泊松分布数次数，指数分布量等待时间：前者取整数，后者取非负实数。同一齐次泊松过程中的相邻等待间隔相互独立，平均间隔为；本例约为 3.33 分钟。实验用生成间隔，其中是 0 与 1 之间的均匀随机数。

空窗概率与人数波动

在的 10 分钟窗口中，至少来 6 人的概率，是人各项概率的总和。用 1 减去 0 到 5 人的概率更方便：

事件	计算方法	概率（约）
10 分钟无人到达		4.98%
10 分钟恰好来 3 人		22.40%
10 分钟至少来 6 人		8.39%
5 分钟无人到达		22.31%

5 分钟窗口对应的参数为。代入，空窗概率约为 22.31%。窗口长度减半，平均人数也减半，空窗概率则从约 5% 增长到约 22%。

人数的平均值和波动也可以从公式算出。表示按概率加权的平均人数；是偏离均值的平方的平均，用来衡量波动。泊松分布具有

标 准 差

标准差是方差的平方根，与人数使用相同单位。本例标准差约为 1.73 人。均值变大时，标准差也变大，但标准差与均值之比反而减小；所以长窗口的绝对起伏更大，相对起伏却更小。有限样本算出的均值和方差，会在各自的理论值附近波动。

从概率公式求出均值和方差

对，将每个人数乘以它的概率，再相加：

这里利用，并令。类似地，

因为，所以。方差的定义等价于，相减得到。时恒有，均值和方差也都是 0。

冷清与繁忙时段的混合

午间和下午的客流量往往不同。把繁忙与冷清时段的记录合在一起，平均人数会掩盖时段之间的差异。

设一半窗口的平均人数是，另一半是，每类内部仍然服从泊松分布。滑块控制两类窗口的差异，取值为 0 到 3；合在一起的平均人数始终为 3。均值相同，这两类窗口混合后的空窗概率和至少 6 人的概率，也会与前面相同吗？

时，两类参数为 1 和 5。随机选一个窗口，恰好来人的概率为

由上式算得，空窗概率约为 18.73%，至少 6 人的概率约为 19.23%，都高于固定参数为 3 时的结果。

两类各自内部有波动，类别之间的均值差异又增加一层波动。两类各占一半时，总方差为：时是 7，而不是 3。

计算混合模型增加的方差

参数为的泊松变量满足。分别代入和，再各取一半，得到

混合后的均值为 3，方差就是。

午高峰与下午低谷混记、多人结伴进店、活动通知引来集中访问，都可能使人数的波动加大。样本方差明显大于样本均值时，可以分时段比较客流，并查看结伴到达的记录。判断到达规律还需要这些时间和人数信息。

对于独立、单次到达，若速率在同一个窗口内按已知时间规律变化，可以用非齐次泊松过程描述：窗口计数仍服从泊松分布，参数为该窗口累计的平均次数，见教材的非齐次泊松过程一节。上面的实验则把总平均次数不同的多个窗口混合，引入了窗口之间的额外波动。

服务器的请求次数

假设某接口的请求独立、单次到达，速率稳定在每秒 2 次。3 秒内的请求次数同样可以用泊松分布描述。

窗口参数为，至少出现一次请求的概率为

如果每隔 3 秒固定发送一批 6 次请求，平均速率也为每秒 2 次，但请求会集中在固定时刻。此时，窗口中的请求次数取决于批次发送时间，应按批处理规则计算。

到达次数还可以作为排队分析的起点：把顾客人数与服务耗时、服务台数量、初始积压结合起来，就能进一步研究等待时间和队伍长度。

参考资料

NIST/SEMATECH，e-Handbook of Statistical Methods，1.3.6.6.19 Poisson Distribution：概率质量函数、均值、标准差及参数估计。
Hossein Pishro-Nik，Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes，11.1.2 Basic Concepts of the Poisson Process：二项极限、齐次泊松过程条件与到达间隔。
同书，11.1.4 Nonhomogeneous Poisson Processes：确定性时变速率与区间计数。