数值分析与算法设计--牛顿插值

牛顿插值

题目

已知函数 的部分取值如下表：

	0	1	2	4
	1	3	2	6

1. 构造差商表（一阶、二阶、三阶差商）；
2. 写出以 为基点的三次牛顿插值多项式 ；
3. 用 估计 的近似值；
4. （选做/拓展）若已知 ，求插值余项 的理论表达式与上界估计（提示：用余项公式）。

解答

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### 一、构造差商表

已知数据点：

0	0	1
1	1	3
2	2	2
3	4	6

我们按定义逐阶计算差商（记 为 阶差商）。

0 阶差商（即函数值）：

一阶差商：

二阶差商：

三阶差商：

差商表整理如下：

0	0	1
			2
1	1	3		−1.5
			−1		0.625
2	2	2		1
			2
3	4	6

考点提醒：

• 差商具有对称性（与节点顺序无关），但表中通常按左对齐递推计算；
• 若等距节点，可联系差分（forward/backward difference），但本题节点不等距（0,1,2,4），必须用差商；
• 差商是牛顿插值系数的核心来源。

写出三次牛顿插值多项式

牛顿插值公式（以 为起点）为：

代入已算得的差商值：

即：

（保留分数形式更精确，避免浮点误差）

考点提醒：

• 牛顿插值是增量式构造，比拉格朗日插值更易增加新节点（只需加一项）；
• 多项式无需展开即可用于计算（推荐用嵌套/Horner 形式，见下文）；
• 注意：插值多项式唯一，牛顿与拉格朗日形式等价，但牛顿形式计算效率更高，尤其适合变节点情形。