数值分析与算法设计--高斯列主元消去法

高斯列主元消去法

题目

使用 高斯列主元消去法求解如下线性方程组：

解答

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写出增广矩阵

第1列选主元

第1列元素绝对值：
|12| = 12,
|−18| = 18 ← 最大，
|1| = 1

主元为 −18，位于第2行 → 将第1行与第2行交换：

注：列主元只在当前列下方（含当前行）找最大，不考虑符号，取绝对值最大者。

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消去第1列下方元素

计算乘子：

行变换：

计算新 R₂：

计算新 R₃：

当前矩阵为：

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第2列选主元

第2列下方元素（从第2行开始）：

• ← 更大！

→ 主元为 ，在第3行 → 交换第2行和第3行

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消去第2列下方元素

计算乘子：

行变换：

先算 :

加到 R₃ 上：

R₃ 原为：

得到上三角矩阵：

回代求解

从最后一行开始：

第3行：

第2行：

化简：，右边

第1行：

最终解：

验算（代入原方程）：

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考点总结（高斯列主元消去法）

考点	说明
列主元选取	每步在当前列（从对角元开始往下）选绝对值最大元素所在行，与当前行交换，避免小主元导致的数值不稳定
乘子计算	，用于消元
行变换	，仅修改下方行
上三角回代	从最后一行向上代入，注意分数运算或用小数保留精度
复杂度	，适用于中小规模稠密系统
与全主元区别	全主元在右下子矩阵中找最大元（行列都可交换），更稳定但开销大；列主元更常用