数值分析与算法设计--改进欧拉法

改进欧拉法

题目

用 改进欧拉法求解初值问题：

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解答

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改进欧拉法公式

对每一步 ：

1. 预测（显式欧拉一步）：
2. 校正（梯形公式）：

本质：用区间端点的斜率平均值代替单点斜率，提高精度。
精度：二阶方法，全局误差 ，比显式欧拉更准。

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已知：

• , 

我们计算到 ，共 3 步。

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逐步计算：

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▶ 第 0 步：, , 

1. 预测：

2. 计算校正所需斜率：

   • （已算）

3. 校正：

→ , 

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▶ 第 1 步：, , 

1. 预测：

2. 斜率：

   • （已算）

3. 校正：

→ , 

（保留4位小数，后续一致）

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▶ 第 2 步：, , 

1. 预测：

2. 斜率：

3. 校正：

→ , 

（四舍五入到6位：1.977734）

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✅ 改进欧拉法结果汇总：

		预测	校正
0	0.0	1.2000	1.2350
1	0.1	1.5120	1.5547
2	0.2	1.9256	1.9777

最终近似解：