反正弦定律：随机游走的停留时间

你和朋友用一枚公平硬币比赛。每轮抛一次：正面你得 1 分，反面对方得 1 分。

进行很多轮以后，双方得分占总分的比例通常接近一半。很容易顺着这个印象推断：两人领先的时间，也该差不多。

但得分接近，并不意味着领先时间接近。 即使硬币公平，一方也可能在长比赛里领先九成以上的时间。反正弦定律能算出这种情况有多常见。

先交换几枚硬币，看看同样的最终得分，能对应多大的领先时间差别。

交互实验分布公式完整推导

从六轮比赛开始

把你的得分减去对方得分，画成一条折线。零线表示平局，上方表示你领先，下方表示对方领先。每轮在横轴上占一个单位长度。

交换顺序

六次抛掷按“正、正、正、反、反、反”排列时，比分差为。最终双方各得 3 分，你却从第一轮得分后一直领先，直到最后一轮才被追平。把所有正反面翻转，最终仍是 3 比 3，领先的一方却完全换了过来。

保持三正三反，交换两枚硬币，尝试把折线在零线上方的时间调成 0、2、4、6。

前三轮积累的领先，会延续到后面的轮次。接着连输三轮，虽然把比分追平了，却不会抵消此前已经领先的时间。

再试“正、反、正、反、正、反”：比分差在 1 和 0 之间变化，折线始终没有走到下方，上方时间仍是 6。结果交替出现，不等于路径在零点两侧交替。

两种统计方式

把这个比赛写成数学模型：正面记 +1，反面记 −1，比分差就是这些数的累计和。这样的折线称为随机游走。

记前次结果的累计和为。每一步持续一个时间单位。

我们关心两个量：

符号	含义
	次抛掷中正面的次数
	折线位于零线上方的时间总长

它们对应的比例是和。

计数约定 · 上方时间按线段的内部计数：和各贡献 1；和不计入。触碰零点的瞬间不占时间。

符号与计数定义

各次抛掷结果独立，且

每步只变化，单条线段不会在内部穿过零点。因此

指示函数在条件成立时取 1，否则取 0。若改为只数满足的整数时刻，有限步数下的结果会不同。本文所有公式和实验均采用线段约定。

独立抛掷

刚才固定了三正三反，最终一定平局。现在让每次抛掷都独立进行，最终比分也由随机结果决定。

生成几次路径作比较，再用滑块回放当前这条。留意它连续停留在零线同一侧的片段。

大数定律与停留时间

一旦比分差走到 +10，下一轮无论谁得分，你都会继续领先。每轮得分独立，领先状态却会延续。 两个比例的差别，就出在这里。

正面次数服从二项分布，因此

各次结果独立，方差随步数增加而趋于零。大数定律保证正面比例几乎必然趋于。

把这样的比赛重复很多局，就能比较不同领先时间出现的频率。每局都用同一条路径同时计算两个比例，观察它们各自的柱形图。

增加 1,000 局，切换“上方时间”和“正面次数”，比较同一批路径的分布。

增加局数让经验频率更稳定；增加每局步数改变的是随机变量的分布。可以先固定步数、多模拟几批，再增加步数，观察两个分布各自怎样变化。

要核实上方时间为何偏向两端，可以把每局缩回六步。六步只有 64 条可能路径，足够全部列出来，逐条计数。

有限步数的精确分布

令总步数。按线段约定，上方时间只能取偶数。记

是走步后回到零点的概率：正反面必须各出现次。停留时间的精确分布为

它对应的路径数是，总路径数为。每条路径等概率，所以某个上方时间对应的路径越多，它就越容易出现。

六步共有 64 条等概率路径；上方时间为 0、2、4、6 的路径分别有 20、12、12、20 条。两端各有 20 条，已经多于中间的每一组。¹

点击分组查看具体路径，再把“样本条件”改为“只保留最终平局”。

筛选后，六步只剩 20 条路径，四个上方时间分组各有 5 条，此时分布变成均匀的。“每轮独立抛掷”和“只看最终平局的比赛”，对应不同的样本空间。 这个条件会改变结果，开头固定三正三反的实验便属于后者。

两端较高的概率形状

令。由中心二项式系数的递推关系，

当时，比值小于 1；右半侧由得到。概率从左端向中间下降，再向右端上升。中间若有两个相邻位置，其概率相同。

偶数步下，上方时间也为偶数：完整的离零再返回片段长度为偶数；在偶数终点处，尚未返回的末段长度同样为偶数。

反正弦分布

六步只有四种可能的上方时间。把总步数加大，再换算成时间比例，可能取值会越来越密。按固定宽度的区间分组，仍能看到两端高、中间低的轮廓；它的连续极限可以用一条密度曲线描述。

将上方时间除以总时长：。当时，依分布收敛到，其密度为

累积分布函数为

名称中的“反正弦”来自这里的。依分布收敛指：对每个固定阈值，趋近。²

区间概率是密度曲线下的面积：。两端密度虽趋于无穷，但可以积分；整条曲线的面积为 1，每个单点的概率仍为零。

比较两端总计 20% 宽的范围，与中间 40%～60% 的范围。

范围	极限概率
不超过 10%	20.48%
40%～60%	12.82%
不超过 10% 或至少 90%	40.97%

两端范围与中间范围的总宽度都是 0.2，概率却明显不同。换回比赛的说法：你领先不到一成、或超过九成时间的比赛，合计约占四成；领先时间在 40%～60% 之间的比赛，只占约一成三。这些数字是长比赛的极限值。

均值与分散程度

把路径的全部增量取反，上下方时间恰好互换。因此对每个有限，都有。

极限分布的均值同样为，方差为。它不会像正面比例那样集中在均值附近：低于和高于的概率各为三分之一，中间一半宽的区间也只包含三分之一的概率。

积分、均值与方差的计算

令，其中。此时，且，于是

沿用这个换元，

反正弦分布也叫分布。等价地，若在上均匀分布，则服从这个分布。

从离散到连续

还有一个细节值得在图上核对：六步时，上方时间恰好为零的概率是；连续极限中，恰好取零的概率却是零。步数增加时，这部分概率怎样变化，可以直接用下面的实验观察。

斯特林公式给出。这里表示两者比值趋于 1。

取远离端点的，使和都趋于无穷，有

相邻可能值间隔为，右边正是“间隔 × 密度”。对区间内的点求和，就得到密度的积分。有限步数下，两端仍各有概率；这个单点概率随增加趋于零。

固定阈值为 10%，增加总步数；再把阈值移到 0，观察端点概率。

图中比较的是分布函数。离散变量的单点概率，应与连续分布的小区间面积比较，不能直接当作密度高度。

极限推导中的端点控制

斯特林公式为

在固定的内部区间上，精确概率的和趋于密度的黎曼积分。端点附近需另行控制：对，由可得

因为此处至多为常数倍的，而至多为常数倍的。右端同理。先令，再令，端点附近的剩余概率便可任意小。

这把内部区间的积分极限扩展到完整的分布函数。同时，

路径分解与证明

回看比分差的折线，每次平局都可以作为一个分界点。相邻两次平局之间，始终由同一方领先；其中一段如果持续很久，就会贡献很大一块领先时间。

计算时，把路径按返回零点的位置拆开，分别统计片段的长度和所在侧。下面的推导从首次返回出发，得到前面使用的精确分布。

首返分解、最后返回与生成函数

首次返回。 记为第一次在正时间回到零点恰好发生在第步的概率，为前步始终没有返回的概率。

按首次返回时刻分组，

前步完成首次返回，剩余部分从零重新开始；独立增量使前后两段的概率相乘。

定义生成函数

的闭式来自广义二项式展开。首返分解给出，所以

由的定义，

比较系数即得：不再返回的概率，恰好等于同样步数后位于零点的概率。

最后返回。 定义

起点也计入候选。事件要求前步回到零点，后面的步不再返回。因此

上方时间。 把路径拆成若干个完整的游程，以及最后一段可能尚未返回的路径。游程是从离开零点到下次返回的片段，内部始终位于同一侧。

用记录上方时间的一半，记录下方时间的一半。长度为的完整正游程权重为，负游程为；系数来自符号对称性。

任意多个完整游程拼接，对应的生成函数为

最后未返回的片段可以为空；非空时，长度为的正负片段各有概率。对应因子为

相乘得到

代入闭式，

右边的系数是，从而得到停留时间公式。令，有，每个的系数为 1，也验证了概率归一化。

最后返回与上方时间同分布，但同一路径上两者的数值不必相等。

适用范围

有限步数的公式要求：从零出发，独立抛掷公平硬币，每步增量为，总步数为偶数，并按线段所在侧统计时间。

加入“最终必须平局”等条件后，需要在新的样本空间中重新计算。其他随机过程也不能仅凭“平均没有偏向”就套用这一精确公式。

连续时间：布朗运动中的反正弦定律

标准布朗运动从零出发，路径连续，增量独立，且服从均值为 0、方差为的正态分布。

对任意固定的，占用时间比例

就精确服从反正弦分布，无需再令。离散随机游走则通过增加步数趋近这个连续结果。³

布朗运动达到最大值的时刻也服从反正弦分布，但它是另一个统计量。离散路径上还可能有并列最大值，需要另行约定取哪一次。

参考资料

Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Chapter 12：随机游走、首次返回与精确计数。
Vishesh Jain, STATS 217, Lecture 3：返回时间与反正弦极限。
David Aldous, Arc Sine laws：布朗运动的三种时间统计量。
Nicolas Curien, Random walks and graphs：进一步阅读。

交互形式参考 Alex Wang 的文章。