渗流理论：从一条通路到临界阈值

水能否穿过一块多孔材料，取决于孔隙有没有接成通路。只知道“一半位置可以通过”，还不足以判断水能不能从顶端到达底端。

下面的两种排布，都开放了 64 格中的 24 格。一种能贯通，另一种不能。再把一张几乎处处开放的图堵住一个关键位置，整条通路也可能突然中断。

数量相同，连通结果却不同。 渗流理论要进一步研究：当这些位置随机开放时，贯通的机会怎样随开放概率变化，以及为什么会出现一个临界阈值。

动手搭通路 理解临界阈值 核对精确公式

相同数量，不同通路

先约定最简单的规则：格子只有“开放”和“关闭”两种状态。开放格子可以与上下左右的开放邻居相连，斜对角不算；图的左右边界也不相接。

从顶行的所有开放格子出发，沿开放格子移动。如果能到达底行，就称这张图顶底贯通。路径可以绕行、转弯，也可以暂时向上走。

这里用水帮助辨认“从顶端可达”的区域，只判断连通关系，不模拟重力、压力或流速。模型的这一简化也常用于渗流算法教学。

先切换“三列开放”和“三行开放”；再选“一个瓶颈”，关闭第 4 行第 4 列，观察只改一格的结果。

三列开放时，有从顶到底的通路；三行开放时，下面的关闭区域把通路截断。前者只开放 37.5%，已经贯通。

“一个瓶颈”中，原有 57 格开放。关闭唯一的桥接格后，仍有 56 格开放，占 87.5%，却不再贯通。开放比例本身不能决定一张图是否贯通，还要看位置怎样连接。

把相连的格子归成一组

能通过开放路径互相到达的一组开放格子，称为一个连通簇。同一个簇内部可以绕路到达；不同簇之间隔着关闭格子。

接通顶端的簇会被标成蓝色。并不是所有开放格子都能从顶端到达，也不是最大的簇一定接通顶端。只要某个簇同时接触顶边和底边，就存在贯通路径。

让每个位置独立开放

刚才的排布由人指定。现在给每个格子同一条随机规则：以概率 开放，以概率 关闭，各格之间独立。

这里的 是一个 0 到 1 之间的数。例如 ，表示每个格子有 60% 的机会开放；“独立”表示一个格子的结果不会改变其他格子的开放机会。

这不要求每张图恰好开放 60%。 随机抽出的实际比例会在附近波动。把格点随机开放的模型称为位渗流（site percolation）；本文先讨论最近邻相连的正方格点。

独立开放的数学定义与比例波动

用 标记一个格点，以随机变量 记录状态：开放时为 1，关闭时为 0。于是

对任意有限的格点集合，指定各格状态的概率，等于各自状态概率的乘积。这就是此处独立性的含义。

边长为 的正方形有 个格点。记开放总数为 ，实际开放比例为 ，其中希腊字母 读作 rho。则

表示重复抽样后的平均值；方差 衡量相对平均值的波动。上式来自 个独立的 0/1 变量相加，每个变量的方差为 。

因此，增大尺寸会让实际开放比例更接近 ，但它不能单独告诉我们这些开放格子是否已经接成通路。

提高概率时，保留同一张随机底图

为了看清“多开放一些格点”的效果，可以先给每格抽一个 0 到 1 之间的随机数 ，并规定

右边的指示符号 在括号内条件成立时取 1，否则取 0。比如某格抽到 0.57， 不足 0.57 时它关闭，达到 0.57 时它开放。

这样，向右拖动 只会开放更多格子，原有通路会保留。只有点击“重新抽样”，才会换一组随机数。这种比较不同概率的方式称为单调耦合。Duminil-Copin 的讲义给出了这一构造。

缓慢提高 p，观察几个小簇怎样接到一起。定位首次贯通后重新抽样，比较新图的首次贯通位置。

一格新开放的位置，可能只是让某个簇大一格，也可能同时接上几块已有区域。贯通出现的那一刻，往往是在这些区域之间补上了连接。

这能解释单张图怎样发生改变。要判断某个 下“通常能否贯通”，还需要重复抽样。

从一张图到贯通概率

记 为：在边长为 的方格上，按概率 独立开放后，出现顶底贯通的概率。下标 表示图的尺寸。

例如 研究的是所有随机生成的 图，而不是其中某一张。模拟时，固定 和 ，独立生成 张图，其中有 张贯通，就用

估计它。字母上方的帽子表示这是样本估计值。下面可以分别增加三种尺寸的样本数，也可以只移动读取滑块，比较同一批样本在不同 下的结果。

先在 p = 0.4、0.6、0.8 附近读数；增加样本后再比较三条曲线。留意大尺寸的过渡区与抽样波动。

尺寸较大时，曲线的主要过渡通常集中在更窄的概率范围：低概率的一侧很少贯通，高概率的一侧经常贯通。有限图上仍会有成功与失败混杂的区间。

增加样本数可以减少抽样波动；增加格点尺寸则改变正在研究的概率 。两种操作解决的是不同的问题。

模拟曲线的计算方法与误差

对一组固定的随机数底图，按随机数从小到大逐个开放格点。每次把新格点与已经开放的邻居合并成簇；簇同时接触顶底时，记录该图首次贯通的参数 。这个簇合并过程可用并查集实现。

因为开放集合随 增加而扩大，对这张图，“在 下贯通”等价于 。实验对许多独立底图分别计算 ，再统计它们落在读取值左侧的比例。因此，移动滑块不需要重新模拟。

每个固定 下，单张图的贯通结果是一个 0/1 变量。 张图独立时，估计值的方差为

平方根称为标准差，所以其上界为 。这是抽样波动的尺度，不是“真值一定落在估计值加减这个数内”的保证。

一条曲线上不同 复用了同一批底图，点与点之间有关联；上式针对的是每个固定 下、不同底图之间的独立性。增加样本也不会消除有限尺寸与无限格点之间的差别。

阈值属于什么对象

数学上的临界阈值定义在无限延伸的格点上。格点再多也有下一圈，不存在最外面的边界。

选定一个格点作为原点，记它所在的开放簇为 ；原点关闭时把这个簇视为空。定义

表示簇里有多少格点， 表示无限多； 表示按开放概率 生成随机结构。这个式子计算的是“原点属于无限开放簇”的概率。

临界阈值定义为

表示下确界，即这组参数的下边界：从哪里开始，原点有正的概率连入无限簇。下标 来自 critical，表示临界。

随着 增大，通路只会增加， 不会下降。低于 时，以概率 1 不存在无限开放簇；高于 时，以概率 1 存在无限开放簇。这种无限尺度的连通性质改变，就是渗流中的相变。这不等于每个格点都属于无限簇：当 时，指定格点仍可能关闭。伯努利渗流讲义讨论了这些定义与非临界两侧的结果。

0.592746 的准确含义

对于本文的无限方格、上下左右最近邻、各格独立开放的位渗流，临界值的数值估计为

这个小数来自数值研究；例如 Jacobsen（2015）给出了高精度估计。这里保留六位小数，足以作为交互实验的参考。不能把它写成已知的精确闭式结果，也不能从一张 图测出这些小数位。

对象	表示什么
某张图的	该组随机数底图首次贯通的参数
	给定有限尺寸后，顶底贯通的概率
	无限格点上，原点属于无限开放簇的概率
	无限模型的临界阈值

有限正方形的贯通概率在阈值以下随尺寸增大趋向 0，在阈值以上趋向 1。临界点附近的有限尺寸行为要单独研究； 的定义本身并没有规定 ，也没有直接说明 的取值。

因此，第一次贯通、有限图中贯通一半的参数，以及无限模型的 ，不能直接画等号。

换一种连接规则，阈值也会改变

到这里，随机的是格点本身。另一种常见模型保留全部节点，只让相邻节点之间的每条连接以概率 独立开放。这称为键渗流（bond percolation），“键”指连接边。

对电路而言，可以把节点理解成接线点、边理解成导线。位渗流随机移除接线点及其可用连接；键渗流随机断开导线。它们对通路的影响不同。

把共同的 p 调到 0.5 和 0.6，分别重新抽样几次。核对左侧开放的是格点，右侧开放的是连接。

无限模型	临界阈值
正方格最近邻位渗流	，数值估计
正方格最近邻键渗流	，精确结果
一维最近邻位渗流	，下面直接推导

方格键渗流的 是 Harris–Kesten 定理的结果。van den Berg 的讲义给出证明。 它不能仅凭“开与关对称”就推出来，更不能搬到位渗流上使用。

方格键渗流为何与

在原方格每个面的中心放一个点，把相邻面中心连起来，得到对偶方格。原图的一条边关闭时，规定与它交叉的对偶边开放。

原图的开放路径无法穿过由关闭原边对应的对偶通路。这样，原图的通路与对偶图的阻隔形成联系；对偶边的开放概率为 。

正方格的对偶仍是正方格， 时两种开放概率相同。这解释了 为什么是特殊参数，但要证明它恰好是无限系统的阈值，还需控制任意大尺度的穿越概率，排除额外的参数区间。

严格证明见上引讲义第 2、3 节。这里给出对偶的作用与证明所需的关键方向，不把对称性本身当作完整证明。

一维链：每一格都必须开放

如果格点只能排成一条链，就没有绕过缺口的路线。含 个格点的链要从第一格走到最后一格，必须全部开放。各格独立，因此

这里上标 chain 表示链模型； 是串联格点数， 表示把 连乘 次。即使每格有 99% 的机会开放，100 格整条贯通的概率也只有

先保持 p = 0.99，把链长从 10 调到 100；再把 p 调到 1，比较理论概率与单次样本。

对任意固定的 ， 随 增大趋于零。无限链上，从原点向右无限延伸需要右侧所有格点开放，其概率为零；向左也一样。因此原点无法属于无限簇。

只有 时整条无限链全开，所以一维模型的 。二维中可以绕路，一维中一个缺口就会阻断；连接结构的变化改变了临界值。

一个可以完整算清的小例子

无限方格的阈值不容易求，有限小图的贯通概率却可以直接算。考虑 的位渗流，仍然只接上下左右，要求顶底贯通。

这张图贯通，当且仅当左列两格全开，或右列两格全开。每列全开的概率为 ；两列使用互不重叠的格点，因此这两个事件独立。

“两列都没有全开”的概率为 ，所以

在 时，四格共有 种等概率排布，其中 7 种贯通，因此 。这个公式也满足 和 。

从全部排布写出有限图的精确概率

对于 图，记全部格点数为 。每个格点只有 0/1 两种状态，共有 种排布。

用 （读作 omega）表示某种排布， 表示其中开放的格点数， 表示所有顶底贯通的排布组成的集合。根据独立性，

因此

求和符号 表示把每一种贯通排布的概率相加。也可以先按开放格点数分类，记 为恰有 格开放且贯通的排布数，得到

图的 为 。代入可得

有限图的概率是一个多项式，会连续变化。无限系统的临界现象，来自尺寸不断增大的极限；不能把小图的光滑曲线当成不存在临界行为的反例。

这套模型能说明什么

渗流把问题缩减为两件事：哪些位置或连接可用，以及它们能否接成跨越系统的通路。它可以帮助讨论多孔介质的连通性、导电材料中的通路或网络断连问题。

应用时，必须重新核对几何结构、相邻规则与独立性。真实孔隙可能大小不一、彼此相关；一条连通路线也不直接给出流量、电阻或传输时间。这些量需要额外的物理模型。

本文的五个实验使用有限自由边界，正方格只接上下左右。约 0.592746 的参考值属于相应的无限独立位渗流模型；改变成键渗流、一维链、允许斜向连接或加入空间相关性，都需要重新判断临界行为。

参考资料

1. Hugo Duminil-Copin, Introduction to Bernoulli percolation：伯努利模型、单调耦合、临界点与非临界区域的性质。
2. Jesper Lykke Jacobsen（2015）, Critical points of Potts and O(N) models from eigenvalue identities in periodic Temperley–Lieb algebras：正方格位渗流阈值的高精度数值估计。
3. J. van den Berg, Introduction to Bond Percolation on the Square Lattice：对偶、Harris–Kesten 定理与严格证明。
4. Robert Sedgewick & Kevin Wayne, Algorithms, Union–Find及渗流教学图示：有限格点模型与连通性计算。